Una persona può vivere la solitudine secondo due possibili punti di vista. La prima riguarda l’assenza di amici, basta che se ne abbia uno per non sentirsi più soli; la seconda invece parte dal presupposto che si è soli se non si appartiene a un insieme più grande, una comunità per esempio. Così succede anche per i numeri. Possiamo definire la solitudine dei numeri se partiamo dalla definizione di amicizia che li lega. In particolare qui si parla di numeri amicabili.1 Questa definizione ci permette di dire che due numeri sono amicabili se la somma dei divisori del primo è uguale al secondo e viceversa. Facciamo un esempio per capire meglio: prendiamo i due numeri 1184, 1210. Andiamo a trovare i loro divisori.
1184 è divisibile per 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296, 592, 1184
1210 è divisibile per 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242, 605, 1210
Proviamo adesso a sommare i divisori di ognuno, senza considerare il numero stesso:
la somma di 1184 è uguale a 1+2+4+8+16+32+37+74+148+296+592=1210;
la somma di 1210 è uguale a 1+2+5+10+11+22+55+110+121+242+605=1184.
Come vediamo questi due numeri sono legati tra loro e perciò si dicono amicabili. Possono non sentirsi soli. Questa però è la definizione più semplice e a dire il vero non ci risolleva molto il morale poiché i numeri amici secondo questa definizione non sono poi molti. La solitudine impera. Seguendo invece il secondo approccio si cerca di capire quando un numero appartiene a un insieme ed è quindi parte di una comunità. Ma qui le definizioni si moltiplicano, scegliamone una che parte dallo stesso concetto di quella precedente ma va a costruire degli insiemi. Non valutiamo quindi solo la relazione tra due entità ma cerchiamo di capire se esistono dei gruppi. In questo caso, dopo aver valutato la somma tra i divisori (questa volta considerando anche il numero stesso) e dividendola per il numero troviamo un rapporto che viene chiamato abbondanza. Se troviamo più numeri che hanno la stessa abbondanza possiamo chiamarli amici e dire che appartengono allo stesso insieme. Facciamo anche qui un esempio.
Prendiamo per esempio 30. I suoi divisori sono: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Facciamone la somma e dividiamola per 30. Questo rapporto sarà (1+2+3+5+6+10+15+30)/30=72/30=12/5.
Prendiamo ora il numero 140. I suoi divisori sono: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140. Operiamo nello stesso modo trovando il rapporto: 336/140=12/5.
Come vediamo questi due numeri hanno lo stesso rapporto, o abbondanza, e appartengono quindi allo stesso gruppo, alla stessa comunità possiamo dire. Secondo questa definizione possiamo costruire dei gruppi di numeri amici. E da questa costruzione ci possiamo accorgere che esistono dei numeri che hanno un rapporto diverso da tutti gli altri numeri e questi si chiamano numeri solitari. Appartengono a un gruppo di cui sono l’unico elemento. Per esempio tutti i numeri da 1 a 5 sono tutti solitari mentre il primo numero amichevole è il 6 che ha come rapporto (1+2+3+6)/6=2 e che ha come amico nello stesso gruppo il 28, il cui rapporto (1+2+4+7+14+28)/28 è anch’esso pari a 2. Tra i numeri che chiamiamo solitari secondo questa definizione esistono i numeri primi. Riflettendo su queste definizioni possiamo arrivare a due considerazioni: prima di tutto non è detto che due numeri amicabili (prima definizione) siano anche amici tra di loro, anzi le definizioni non sono compatibili. Ma questo è il bello della vita. L’amicizia non è facilmente definibile, considera molti fattori che a volte paiono incomprensibili.
La matematica non si ferma qui, come sappiamo la solitudine può essere esperita anche in mezzo a tanta gente e per i numeri si è trovato un indice di solitudine per gli insiemi infiniti di numeri. Non stiamo qui a spiegare questo ulteriore approccio, in fondo noi umani non siamo un insieme infinito, per quanto tanti rimaniamo comunque un numero finito. Rimandiamo perciò chi fosse interessato a una lezione di Piergiorgio Odifreddi,2 sottolineando solo che, in questo caso, i numeri primi non sono per nulla solitari mentre lo sono un po’ di più i numeri primi gemelli. E, nonostante il titolo, è proprio a questi numeri primi gemelli che fa riferimento Paolo Giordano nel suo libro La solitudine dei numeri primi quando dice «In un corso del primo anno Mattia aveva studiato che tra i numeri primi ce ne sono alcuni ancora più speciali. I matematici li chiamano numeri gemelli: sono coppie di numeri primi che se ne stanno vicini, anzi quasi vicini, perché fra di loro vi è sempre un numero pari che gli impedisce di toccarsi per davvero».3
NOTE
1 Italo Ghersi: Matematica dilettevole e curiosa — Hoepli — 1988
2 Clicca sul titolo per il video La solitudine dei numeri primi di Piergiorgio Odifreddi
3 Paolo Giordano: La solitudine dei numeri primi — Mondadori — 2008