Sono strutture matematiche che ogni giovane o vecchio musicista -o di chi vorrebbe esserlo, come il sottoscritto- deve affrontare. Poi c’è la parte matematica, legata alla fisica, che ci descrive i suoni, le frequenze, le intensità. Poi c’è il pentagramma, quasi un piano cartesiano con le sue regole e i suoi assi. E così via. Andando avanti si possono trovare migliaia di ponti tra queste due arti. Più o meno sottili, più o meno complicati. Ma la cosa più affascinante del legame tra matematica e musica è la costruzione della scala musicale. E ci si può anche giocare: con le mani, un po’ di pazienza, legno e chiodi. Questa storia che vi racconto inizia da Pitagora per arrivare fino al 1500, al signor Zarlino. Prima di tutto vi getto in pasto una formula. A me piace questa formula e possiamo dire che tutto inizia da qui, anche se i primi che l’hanno usata non la conoscevano. È una formula matematica che ci parla di fisica. Eccovela, poi la spiego:

In questa formula abbiamo la T che rappresenta la tensione della corda, il Þ che è la densità della corda quindi dipende dal materiale con cui è fatta- e S è la sua sezione. L, infine, è la lunghezza della corda tra i due sostegni. Se pensiamo alla chitarra la L è la distanza tra il capotasto e il ponte. Quindi data una lunghezza e scelto il materiale posso agire sulla tensione per accordare sulla nota che desidero. Possiamo però anche ragionare in modo diverso. Abbiamo una corda e la fissiamo ai due estremi di un supporto di legno. Questi punti simulano il capotasto e il ponte della chitarra. La corda è ben tesa, ha una lunghezza x tra i due punti e toccandola vibra con una determinata frequenza. Quella sarà la nostra nota. Per ora non ci interessa sapere quale sia. Sappiamo che in una scala musicale la frequenza di una nota è la metà della stessa nota, un’ottava superiore. Per esempio se prendiamo il La del diapason sappiamo che la sua frequenza è di 440 Hz, quindi il La dell’ottava superiore -il successivo La sulla tastiera di un pianoforte, sarà di 880 Hz. Come vediamo dalla formula per raddoppiare la frequenza basta dimezzare la lunghezza. Per dividere l’ottava in note, e quindi in frazioni della corda, sono stati usati tantissimi metodi. Ci hanno provato cinesi, giapponesi e in parallelo la scuola di Pitagora. Lo strumento utilizzato era proprio quello che abbiamo descritto: un monocordo. Alla fine fu Gioseffo Zarlino, nel 1558, che riuscì a definire quali erano queste frazioni e costruì quella che si chiama la scala naturale.

Cosa vuol dire questa tabella? Se abbiamo una corda lunga 1, intonata sul Do e schiacciamo nel punto che la divide in 3/4 e ¼, otteniamo dalla parte lunga il Fa e dalla parte corta il Do di due ottave superiori (essendo 1/4 della lunghezza base). Se premiamo poi la corda esattamente in mezzo, pizzicando una qualsiasi delle due metà otterremo un altro Do di un’ottava superiore. Nel disegno qui sotto è indicata la posizione dei punti di pressione, la frazione che rappresenta la parte destra della corda -in rosso alcuni esempi della parte sinistra- e la nota corrispondente. Ovviamente con lo stesso strumento possiamo giocare in vari modi. Possiamo trovare tutte le ottave di una stessa nota dividendo con frazioni (1/2)n. Ovvero dividendo la corda a 1/2, 1/4 , 1/8… Oppure possiamo costruire scale diverse, con distanze (e quindi frazioni) diverse tra le varie note. Forse non sarà proprio intonata come quella che si usa di solito ma poco importa, l’importante è sperimentare. Poi alla fine arrivò Bach, che sistemò bene la scala risolvendo alcuni problemi lasciati aperti dalla scala naturale. Ma questa è un’altra storia.

PER APPROFONDIRE

Nicola Chiriano: Pitagora e la musica — Alice & Bob — 2009

Nicola Chiriano: Il restauro della scala. Il “temperino” di Bach — Alice & Bob — 2010